Polígonos de área fácil

El siguiente teorema es un resultado geométrico que es simplemente sorprendente. Nos permite calcular de forma muy sencilla el área de un polígono que cumpla ciertas condiciones. Se debe al matemático austriaco Georg Alexander Pick que lo demostró en 1899.

El enunciado del teorema es el siguiente:

Teorema: Supongamos que tenemos una cuadrícula en la que cada vértice corresponde a un punto del plano cuyas coordenadas son números enteros y sea P un polígono simple (es decir, sin agujeros) que cumple que todos sus vértices están situados sobre vértices de la cuadrícula. Es decir, algo así:

Polígono

Sea i el número de vértices de la cuadrícula que quedan dentro del polígono y sea f el número de vértices de la cuadrícula que están en algún lado del polígono, es decir, los puntos frontera que tienen sus dos coordenadas enteras. Entonces el área del polígono puede calcularse de la siguiente forma:

A_P=i+ \cfrac{f}{2}-1

En el ejemplo de la imagen tenemos , i=40 y f=12. Por tanto A_P=40+ \textstyle{\frac{12}{2}}-1=45 (unidades cuadradas).

Demostración:

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Sea P un polígono simple y T un triángulo con un lado común con P. Asumimos que el teorema es cierto para P y para T de forma separada y demostremos que también es cierto para el polígono PTconseguido a partir de P añadiendo T. Como P y T comparten un lado, todos los puntos frontera a lo largo del lado común, excepto los puntos extremos del lado, se convierten en puntos interiores de PT. Por tanto, llamando c al número de puntos frontera en común, tenemos que i_{PT}=(i_P+i_T)+(c-2) y f_{PT}=(f_P+f_T)-2(c-2)-2. De ello obtenemos que (i_P+i_T)=i_{PT}-(c-2) y (f_P+f_T)=f_{PT}+2(c-2)+2.

Como asumimos que el teorema es cierto para P y T de forma separada:

\begin{matrix} A_{PT}=A_P+A_T= \\ =(i_P+ \cfrac{f_P}{2}-1)+(i_T+ \cfrac{f_T}{2}-1) = (i_P+i_T)+\cfrac{f_P+f_T}{2}-2= \\ = i_{PT}-(c-2)+ \cfrac{f_{PT}+2(c-2)+2}{2}-2 = i_{PT}+\cfrac{f_{PT}}{2}-1 \end{matrix}

Por tanto, el polígono A_{PT} cumple el teorema.

Se sabe que en dos dimensiones cualquier polígono puede ser triangulado. Por tanto, lo que hemos obtenido es que si el teorema es cierto para un triángulo T y para un polígono formado por n triángulos también lo es para un polígono formado por n+1 triángulos.

El último paso de la demostración es comprobar que el resultado es cierto para cualquier triángulo. Veámoslo:

Es fácil ver que el teorema se cumple para cualquier cuadrado de lado 1 (¿de verdad es fácil?). De aquí se deduce que es correcto para cualquier rectángulo con sus lados paralelos a los ejes. A partir de ésto deducimos que la fórmula es cierta para triángulos rectángulos obtenidos a partir de un rectángulo mediante un corte por una de sus diagonales.

Ahora, cualquier triángulo puede convertirse en un rectángulo añadiendo como mucho tres triángulos rectángulos. Como la fórmula es correcta para los triángulos rectángulos y para el rectángulo también lo es para cualquier triángulo.

Con esto concluye la inducción.

Hemos comentando anteriormente que el teorema es válido para polígonos simples, es decir, sin agujeros. Hay una generalización para cualquier polígono en la cual el -1 de la fórmula se sustituye por - \chi (P), es decir, la característica de Euler de P.

Por otra parte, una superficie llamada el tetraedro de Reeve  demuestra que el teorema  no se puede generalizar a tres dimensiones. Sin embargo, para dimensiones superiores sí hay una generalización vía polinomios de Ehrhart.

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