Eigenvalores sin determinantes

La mayoría (¿todos?)  de los cursos de álgebra lineal usan determinantes para calcular  eigenvalores y eigenvectores. Así que los eigenvalores de una matriz (o transformación lineal)son las soluciones de

\det(A- \lambda I)=0

Demostración:

Sea  V  un espacio vectorial complejo y  t a una transformación lineal t:V\rightarrow V .  Sea v un vector no cero en V y suponga que \dim V =n. Entonces los  n+1 vectores  v,t(v),t^2 (v),\dots,t^n (v) son linealmente dependientes. Por lo tanto existen números complejos   \alpha_0,\alpha_1,\dots,\alpha_n tal que

\alpha_0 v + \alpha_1 t(v) + \dots + \alpha_n t^n (v)=0.

y además

(\alpha_01+ \alpha_1 t + \dots + \alpha_n t^n)(v)=0.

Se sabe que    \mathbb{C} is algebricamente cerrado, esto implica que un  polinomio de la forma  \alpha_0 + \alpha_1 z+ \dots + \alpha_n z^n se puede factorizar

\alpha_0 + \alpha_1 z+ \dots + \alpha_n z^n=c(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\dots(z-\lambda_m).

donde c, \lambda_1,\dots,\lambda_m son números complejos  c \neq 0.  De lo anterior podemos deducir que

c(t-\lambda_1 1)(t-\lambda_2 1)\dots(t-\lambda _m 1)(v)=0

lo cual se puede  ver  como una composición de funciones  con  v \ne 0,  se puede concluir  que 
(t-\lambda _m 1)(v)=0 por consiguiente (t-\lambda_m 1)(v)=vde tal forma que  t(v)=\lambda_m v donde  v es un eigenvector
ó
(t-\lambda _{m-1} 1)(t-\lambda _m 1)(v)=0 así (t-\lambda _m 1)(v) es un eigenvector

ó

ó
(t-\lambda_2 1)\dots(t-\lambda _m 1)(v) es un  eigenvector,

de esta manera se pueden calcular los eingenvalores sin determinantes

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