De caídas a caídas

Revisando los cursos de física básica en la universidad; observe que siempre se enseña en la parte de mecánica “Caída libre”;  y no se menciona  la “Caída no libre” ; es extraño pero la mayoría  de las personas observan a diario este ultimo fenómeno; que va desde un meteorito hasta una hoja de algún árbol, claro pasando por paracaidistas o alguna desgracia como un elevador en caída .

Recordemos algunas definiciones sobre este asunto.

  • Una caída libre, es el tipo de movimiento donde la resistencia del aire o del medio es despreciable por lo que se considera nula.
  • Una caída no libre o con fricción, es el tipo de movimiento donde la resistencia del aire o del medio no es despreciable. En este caso se opone al movimiento del objeto.

Experimentalmente se sabe que todo fluido (por ejemplo: agua, aire, aceite) se opone al movimiento de todo objeto que pasa a través de él. Dicha oposición al movimiento se manifiesta mediante una fuerza de resistencia que tiene dirección contraria al movimiento del objeto y con una magnitud que para velocidades pequeñas, es directamente proporcional a la velocidad instantánea.

Modelo

Para modelar el movimiento de un objeto a través de un fluido, es necesario tener presenta la segunda ley de Newton, la cual establece una proporcionalidad directa entre la fuerza resultante F que actúa sobre el objeto y la aceleración instantánea de a. Esto es F=ma, donde la masa m del objeto juega el papel de la constante de  proporcionalidad.
Recordemos que
  • a(t)=\displaystyle \frac{d}{dt}v(t), donde v(t) es la velocidad instantánea;
  • v(t)=\displaystyle\frac{d}{dt}x(t), donde x(t) es la posición instantánea;
  • w=mg es el peso del objeto de masa m.
  • R(t) es la fuerza de resistencia del fluido al movimiento m, entonces su magnitud \left|R(t)\right| es directamente proporcional a la rapidez \left|v(t)\right| de m. Esto es \left|R(t)\right|=\beta\left|v(t)\right| donde \beta>0 es la constante de proporcionalidad y además R(t)=-\beta v(t) por ser R(t)v(t) de sentidos opuestos

con lo anterior podemos establecer el modelo para ambos fenómenos.

Caída libre

    • a(t)=g.
    • v(t)=v_{0}+gt
    • x(t)=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}g t^{2}

Caída no libre

De lo anterior tenemos que

\begin{array}{rcl}  F=ma(t) & \& & F=w+R(t) \\  & \Rightarrow & ma(t)=w+R(t) \\  & \Rightarrow & ma(t)=mg-\beta v(t)\\  & \Rightarrow & m\displaystyle\frac{d}{dt}v(t)=mg-\beta v(t)\\  & \Rightarrow & m v'(t)+\beta v(t)=mg \\  & \Rightarrow & v'(t)+\displaystyle\frac{\beta}{m} v(t)=g  \end{array}

Esta ultima, es una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden. Suponiendo que la velocidad inicial es v_{0} y la posición inicial es x_{0} se obtiene que

    • v(t)=\displaystyle\frac{mg}{\beta}+\left(v_{0}-\frac{mg}{\beta}\right)e^{-\frac{\beta}{m}t}
    • x(t)=x_{0}+\displaystyle\frac{mg}{\beta}t+\frac{m}{\beta}\left(v_{0}-\frac{mg}{\beta}\right)\left(1-e^{-\frac{\beta}{m}t}\right)
Calculemos ahora el limite  de v(t) cuando el tiempo tiende a infinito,
\displaystyle\lim_{t\rightarrow \infty}v(t)=\lim_{t\rightarrow \infty}\displaystyle\frac{mg}{\beta}+\left(v_{0}-\frac{mg}{\beta}\right)e^{-\frac{\beta}{m}t}=\displaystyle\frac{mg}{\beta}
Observamos que en algún instante de tiempo la velocidad es constante, a este resultado se le llama velocidad límite
v_{lim}=\displaystyle\frac{mg}{\beta}
La velocidad límite se alcanza cuando el peso del objeto es igual a la fuerza de resistencia del aire o del medio en que se encuentra, es decir, esta velocidad límite constante permite por ejemplo que un paracaidista tenga un aterrizaje suave; mas aun cuando un objeto cae y su peso no alcanza la fuerza de resistencia del aire entonces la velocidad no es constante por lo que se tendría una colisión,
conclusión si alguna vez vas cayendo y te quieres salvar, tendrías que igualar tu peso con la fuerza de resistencia antes del impacto con el fin de aterrizar de forma suave, eso si, si no te incendias antes.
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