Pi vs Fibonacci

Recordemos la definición de la sucesión de Fibonacci:

F_{n}=\left\{ \begin{array}{lc}  0 & n=0 \\  1 & n=1 \\  F_{n-1}+F_{n-2} & n>1  \end{array}\right.

Entonces se tiene la siguiente igualdad:

\displaystyle\frac{\pi}{4}=\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{5}+\arctan\frac{1}{13}+\arctan\frac{1}{34}+\ldots

Los  denominadores que aparecen en cada una de las fracciones que actúan como argumento de las arcotangentes. Son los términos de la sucesión de Fibonnaci para k impar (comenzando por F3 = 2). Escrito en forma de serie:

\displaystyle\frac{\pi}{4}=\sum_{k=1}^{\infty}\arctan\left(\frac{1}{F_{2k+1}}\right)

Es decir, que si hacemos esa suma y la multiplicamos por 4 es \pi.  Se pueden calcular aproximaciones usando Mathematica

N[4 Sum[ArcTan[1/Fibonacci[2 k+1]],{k,1,200}],100]

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