Demostración elegante de que la raíz enésima de 2 es irracional

Primero recordemos que los números racionales se definen de la siguiente manera

\mathbb{Q}=\left\{\displaystyle\frac{p}{q}\,:\, p,q \neq 0\in \mathbb{Z}\right\}

de lo anterior concluimos que  cualquier número irracional no  se puede  expresar por un cociente de números enteros.

Ahora ya estamos listos para probar que \sqrt[n]{2} es irracional para n\geq 3. Este hecho lo probaremos por contradicción, supondremos que  \sqrt[n]{2} es racional para n\geq 3, es decir, existen enteros positivos p y q tal que

\sqrt[n]{2}=\displaystyle\frac{p}{q}

esto implica que

\begin{array}{rcl}\sqrt[n]{2}=\displaystyle\frac{p}{q} & \Rightarrow & 2= \displaystyle\frac{p^{n}}{q^{n}}\\&&\\& \Rightarrow & 2q^{n}=p^{n} \\&&\\& \Rightarrow & q^{n}+q^{n}=p^{n}\end{array}

por el Último Teorema de Fermat no existen enteros p y q que cumplan lo anterior. Con esto demostramos que \sqrt[n]{2}  para n\geq 3 es irracional.

FermatEs imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.

Fermat afirmó que mientras la ecuación x^{2}+y^{2}=z^{2} sí tienes soluciones enteras positivas, para n\geq 3  no existen tres enteros positivos x, y, z tal que

 x^{n}+y^{n}=z^{n}

Bueno, tranquilicémonos. Si a mediados del siglo XVII Fermat tenía una demostración de este resultado, y teniendo en cuenta los genios de las Matemáticas que aparecieron después (Euler, Cauchy, Gauss, Lagrange…) no debería ser demasiado complicado encontrarla…¿o sí?. Pues sí. Nada menos que350 años tuvieron que pasar hasta que Andrew Wiles consiguiera demostrar este resultado deduciéndolo como corolario de otro resultado más complicado (conjetura de Shimura-Taniyama-Weil) y que, en principio, no tenía nada que ver con el resultado propuesto por Fermat. Teniendo en cuenta que Fermat no disponía de todas las herramientas que usó Wiles, la demostración ocupa más de 100 páginas y que en 350 años ningún matemático fue capaz ni tan siquiera de acercarse a una demostración del caso general del problema (sólo se consiguió demostrar casos particulares del mismo) lo más lógico es pensar que aunque Fermat pensaba que tenia esa demostración maravillosa en realidad estaba equivocado, ya que cuesta entender que en tanto tiempo y con tantos matemáticos brillantes dedicados en mayor o menor medida al tema ninguno llegara a la demostración de este hecho.

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