Filotaxis espiral vs ángulo dorado

La filotoxis es un comportamiento en la distribución de hojas de alguna flor de hecho se puede relacionar el número de hojas que se tienen para dar una vuelta completa al tallo con los números de Fibonacci. Este hecho es el inicio de una curiosidad que provino de leer la siguiente noticia.

Hay al menos 250000 especies de plantas, aproximadamente el 80% de ellas tienen las siguientes características.

Tomemos al girasol como ejemplo

  •  Al observar las semillas del girasol observamos un patrón en su posición, es decir, se observan espirales que van del centro hacia la parte externa.
  • Cada semilla es colocada en un ángulo fijo con respecto a su predecesor
  • El ángulo fijo es el angulo dorado
\gamma=2\pi \left(1-\displaystyle\frac{1}{\phi}\right)
donde \phi es la razón dorada
\phi=\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}
  • La i-ésima semilla se coloca a una distancia del centro proporcional a \sqrt{i}
De lo anterior se observa que la posición de la  i-ésima semilla tiene coordenadas
(r,\theta)=(\sqrt{i},i\gamma)
Usando Mathematica se tiene lo siguiente
Es importante tratar de entender el porque de \sqrt{i}, esto se puede explicar  pensando que el conjunto de semillas de tamaño i esta dentro de un circulo de radio r, de alguna forma el número de semillas es proporcional al área del circulo de radio r, en particular se tiene que
i \propto r^2\Rightarrow \sqrt{i} \propto r
Ahora tratemos de llevar estas ideas a una esfera, empezamos por una semiesfera, es importante que la relación de la superficie de la semiesfera y su radio no sera la raíz cuadrada como el ejemplo anterior. Analizando el área de la superficie encontramos lo siguiente

donde \psi es el segundo ángulo dentro de la definición de las coordenadas esféricas; realmente esto nos lleva a un buen camino
i \propto 1-\cos (\psi)
ya casi tenemos nuestra relación, para eso introducimos una constante de proporcionalidad c, al resolver podemos observar que \psi tiene dos valares, esto nos indica que las espirales pueden ir en dos sentidos; ahora encontremos el valor de c para obtener el máximo valor de \psi
de lo anterior, podemos insertar 1000 semillas en una semiesfera
con unas cuantas lineas más de programación podemos tener el arreglo de las semillas en toda la esfera
finalmente llamamos nuestra función filotaxis
El arreglo de las semillas puede generar una mayor eficiencia  en algún sentido, como lo que encontró el niño de 13 años, el simple hecho de revisar la fotosíntesis y la posición de las hojas según el ángulo dorado, dio como resultado mayor captación de energía hasta en un 50% más que cualquier configuración.
Finalmente y ya entrados que pasaría si fabricamos una copa con esta distribución de semillas(esferas de vidrio). Utilicemos el siguiente modelo de Peugeot
Tomando los puntos e interpolando
obtenemos lo siguiente
ahora generemos su distribución, para eso deberemos pagar el precio y crear  algunas lineas de código  para poder dar el acabado y ver las espirales
llegamos a nuestra copa finalmente
el poder crear esta copa sería todo un despliegue visual nunca antes visto, ya que el simple hecho de refractar sería todo un espectáculo.
  • Christopher Carlson, Technical Communication & Strategy Wolfram Research (Idea y elaboración en inglés)
  • Miguel Angel Hernández de la Torre Ciencias Básicas Tecnologico de Monterrey Campus Toluca (Documentación y elaboración en español)
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