Cumpleaños vs probabilidad

Probablemente muchos de ustedes  conocen la  paradoja del cumpleaños, pero habrá algunos que  no la conozcan, así que empecemos:

El cumpleaños

Imaginen que en un cierto momento están con un grupo de personas, por ejemplo en una reunión familiar o en un bar, cualquier grupo aleatorio de personas podría ser. Digamos que hay 25 personas.  ¿Cuál crees que es la probabilidad de que en ese grupo de personas tenga al menos dos personas que cumplen  años el mismo día del mismo mes? Quien no conozca este asunto probablemente responda algo como: No sé, pero seguro que es muy pequeña. Al menos esa es básicamente la respuesta que yo me he encontrado siempre que he comentado el tema. Pues la cosa es, que no es tan pequeña como se piensa. Veamos  lo que pasa: En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan  años el mismo día del mismo mes es de 0,507, es decir, hay un 50,7% de posibilidades de que al menos dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes. Para las 25 personas de mi ejemplo la probabilidad es aproximadamente de 0,57, es decir, casi el 57%.

Modelo

El resultado no es una paradoja matemática, es algo comprobable (además fácilmente) matemáticamente. El calificativo de paradoja le viene por lo contrario que parece a la intuición. Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas n \le 365 (ya que si hay más de 365 la probabilidad es 1) la idea es calcular la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan los años el mismo día. A esa probabilidad la llamaremos p. Después calculamos la probabilidad de que haya alguna realizando la operación 1-p. Calculemos p (tomaremos el año con 365 días): Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá años un cierto día. Tomamos otra de las personas. La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es \frac{364}{365} (casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es \frac{363}{365} (por la misma razón que antes). Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es \frac{362}{365}, y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos (que nadie coincida) es el producto de todas esas probabilidades. Para n personas nos queda la siguiente expresión: p=\cfrac{364}{365} \cdot \cfrac{363}{365} \cdot \cfrac{362}{365} \cdot \ldots \cdot \cfrac{365-n+1}{365} Usando factoriales podemos escribir esa expresión así: p=\cfrac{365!}{365^n \cdot (365-n)!} Si esta es la probabilidad de que no se tengan dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos  una pareja que sí coincida, será 1-p.  Es decir, la probabilidad de que en una reunión de n personas halla dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:

1-\cfrac{365!}{365^n \cdot (365-n)!}

Con n=22 obtenemos una probabilidad de 0.475695. Con n=23 ya pasamos el 50%, exactamente obtenemos una probabilidad de 0.507297. Con n=25, el del ejemplo del principio, estamos ya en 0.5687. Observen que pasa si aumentamos n : Para n=30, la probabilidad es de 0.706316, poco más del 70%. Para n=35, la probabilidad es de 0.814383, poco más del 81%. Para n=40, la probabilidad es de 0.891232, casi del 90%. Para n=45, la probabilidad es de 0.940976, cerca del 95%. Para n=50, la probabilidad es de 0.970374, más del 97%. Para n=60, la probabilidad es de 0.994123, ¡¡más del 99%!!. La cuestión es que generalmente cada persona tiende a imaginar la probabilidad de que, partiendo de una persona concreta, halla otra que coincida en cumpleaños con ella. La probabilidad de ésto es muy baja con 23 personas. La clave del tema es que hay multitud de posibles parejas que pueden formarse conforme vamos aumentando el número de personas del grupo. Por eso la probabilidad acaba siendo tan alta en un grupo tan pequeño.

Ya para terminar

La probabilidad de que partiendo de una persona fija encontremos a otra que coincida exactamente con esa persona en fecha de cumpleaños es muy baja.  Concretamente, para n personas la probabilidad se calcula así: 1-\left ( \cfrac{364}{365} \right ) ^{n-1} con n=28 personas,  la probabilidad es 0.0713971, es decir, muy baja. Articulo tomado de http://gaussianos.com/la-paradoja-del-cumpleanos/

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