De infinitos a infinitos

A veces el decir infinito nos hace pensar que no se puede medir o cuantificar y podríamos caer en el error de decir que son iguales en tamaño o mejor dicho tienen la misma cardinalidad (número de elementos del conjunto), veamos el siguiente ejemplo y como este pensar nos lleva a sorpresas

Los número algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si r= \textstyle{\frac{p}{q}} es un número racional (por tanto p,q\in\mathbb{Z}), entonces r es solución de la ecuación polinómica q \; x -p=0.

Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional \sqrt{2} es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica x^2-2=0 para darse cuenta de ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, \sqrt[3]{3}, que es solución de x^3-3=0. Y con muchos más números irracionales.

Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos más representativos de este conjunto  tenemos al número \pi y al número e.

Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos que números trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo. Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números trascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos pero no los podemos contar. Conclusión: hay muchos más números reales trascendentes que algebraicos.

A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrar números trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real es trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrando que el número

\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}

es trascendente. Más adelante Hermite demostró que el número e es trascendente y posteriormente Lindemann hizo lo propio con el número \pi.

Dada la dificultad que tiene encontrar números trascendentes  les pongo   los 15 números trascendentes más famosos. Para algunos no existe demostración, pero se cree con gran firmeza que lo son:

  • \pi
  • e
  • Constante de Euler-Mascheroni\gamma = 0,577215 \dots (no demostrado)
  • Constante de Catalan: G= \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \textstyle{\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}}} (no demostrado)
  • Constante de Liouville: \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}
  • Constante de Chaitin: \omega (que además es no computable)
  • Número de Chapernowne: 0,12345678910111213 \ldots
  • Ciertos valores de la función \zeta de Riemann, como \zeta (3)
  • ln(2)
  • El número de Hilbert: 2^{\sqrt{2}}
  • e^{\pi}
  • \pi^e (no demostrado)
  • El número de Morse-Thue: 0,01101001 \ldots
  • i^i= 0,207879576 \ldots
  • Los números de Feigenbaum (no demostrado):
    \begin{matrix} \delta = 4.66920160910299067185320382 \ldots \\ \alpha = 2.502907875095892822283902873218 \ldots \end{matrix}

En relación con los números trascendentes tenemos un resultado muy interesante probado de forma independiente por Alexandr Gelfond y Theodor Schneider:

Teorema: (de Gelfond-Schneider)

Si \alpha y \beta son números complejos algebraicos, \alpha \ne 0,1, y \beta no es racional, entonces \alpha^{\beta} es trascendente.

Este teorema nos lleva a encontrar de manera fácil números trascendente, por ejemplo, e^{\pi} es trascendente, a primera vista no cumple con el teorema de Gelfond, pero es inmediato probar que este número es trascendente a partir del teorema.

Referencias

http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html

Tomado de:

http://gaussianos.com/numeros-algebraicos-y-trascendentes-los-15-numeros-trascendentes-mas-famosos/

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