Funciones, dardos y competencia económica

La mayoría de las personas cuando tienen contacto con el concepto de función, terminan pensando que no sirven en lo absoluto.

Veamos que no es cierto la hipótesis anterior.

Pensemos en dos tiradores de dardos los cuales están retirados cierta distancia y cada uno de ellos cuenta con un globo pegado en su camisa a la altura del corazón, estos jugadores entraran en un duelo  por alguna circunstancia que no explicaremos. El objetivo del duelo es que el jugador que  primero le atine al globo del contrario ganará. Para hacer más interesante el duelo, cada tirador solamente cuenta con un dardo y decide el momento en el cual tirar.

Como se podrán dar cuenta, hay una serie de características que no podemos dejar a un lado si fuéramos alguno de los tiradores:

  • No se que tan diestro sea mi contrincante para tirar,
  • En que momento va a tirar.
  • Si tira primero y falla aseguro mi disparo (al momento de fallar uno de los dos, el otro jugador se puede acercar tanto como el quiera para no errar el tiro)
  • Si tiro primero, puedo ganar
  • Podemos tirar al mismo tiempo

Seguramente encontrarán algunas otras. La pregunta es ¿Como podemos encontrar una estrategia optima para ganar el juego? , si es que existe.

Hagamos uso de funciones para detallar nuestro escenario.  Jugador \mathcal{A} tira en un tiempo t=x jugador \mathcal{B} tira en un tiempo t=y,

Las funciones que se construyen para este escenario son de probabilidad en función del tiempo. (mayor probabilidad de certeza a mayor tiempo)

  • a(t): probabilidad de acierto para el jugador \mathcal{A}
  • b(t): probabilidad de acierto para el jugador \mathcal{B}.

La situación quedaría modelada de la siguiente manera

P_{\mathcal{A}}(x,y)=\left\{\begin{array}{lcc}  a(x)&& \mathrm{si}\quad x<y\\  1-b(y)&& \mathrm{si}\quad x>y\\  \frac{1}{2}\left(a(x)+1-b(y)\right)&&\mathrm{si} \quad x=y  \end{array}\right.

es decir, si \mathcal{A} tira primero depende solo de su destreza, si tira después, entonces depende de que  \mathcal{B} falle o en su defecto es un promedio si tiran al mismo tiempo.

De lo anterior podemos observar como mínimo una función por casos, dominio y rango, seguramente ya nos dimos cuenta de que un escenario, que tal vez no podía ser ejemplo de un modelado matemático, resulto ahora, que la estrategia depende del análisis de las funciones.

Regresando al modelo, observamos un modelo similar para  \mathcal{B}

P_{\mathcal{B}}(x,y)=1-P_{\mathcal{A}}(x,y)

Ahora supongamos que \mathcal{A} asume, prudentemente, que su decisión de tiempo x será adivinada con anticipación por \mathcal{B}. En este caso no puede esperar un mejor resultado que

Q_{\mathcal{A}}(x)=\min\left[a(x),1-b(x)\right]

Puesto que \mathcal{B} puede esperar a que su probabilidad sea cercana a uno o puede tirar justo antes de t=x

y así se puede ir agregando condiciones de tal forma que el conocimiento sobre funciones sea indiscutible. Imaginemos que

a(t)=t,  b(t)=t^{2}

entonces se tendría la siguiente gráfica

 

Finalmente el escenario es sobre un duelo, pero realmente puedes estar analizando un modelo económico, donde los jugadores ahora son empresas y tienen su venta de tiempo para lanzar su producto antes o después de la competencia. Interesante verdad !!!

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