Teselados y redes celulares

redtel

telefonía 3G de la ciudad de México y zona metropolitana (MAHT febrero 2014)

La tecnología de las comunicaciones está cambiando constantemente, y cada tecnología trae consigo nuevos desafíos matemáticos. Los modelos matemáticos utilizados en cada una de ellas a menudo no son aplicables a la siguiente y, por tanto, la industria de las telecomunicaciones mantiene a los matemáticos ocupados  de forma permanente.

Todos hemos experimentado el problema de la interferencia cuando hablamos por teléfono. Esta interferencia es causada por el ruido que siempre está presente en las transmisiones y por los errores que se encuentran al recibir una señal. El problema se agrava si una misma vía se utiliza para varias transmisiones simultaneas, situación que es común en las telecomunicaciones modernas.

Este tipo de problemas se debe al número limitado de frecuencias que tiene cada compañía, para solventar esta problemática, se recure  al  TESELADO que es un concepto propio de las las matemáticas

Si buscamos la definición en Internet nos encontramos con lo siguiente “Un teselado es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos

  • Que no queden huecos.
  • Que no se superpongan las figuras.

Es aquí donde entra el poder de las matemáticas ya que para diseñar adecuadamente una red móvil, se desarrollaron los sistemas celulares. En ellos, se reparten las frecuencias disponibles y se separan por celdas, además de repetirlas periódicamente.De este modo, dos celdas adyacentes no utilizan el mismo conjunto de frecuencias, y las frecuencias se reutilizan por la repetición de las celdas.

Para implementar una red de telefonía celular se tiene que distribuir las  frecuencias en un área geográfica, por ejemplo una ciudad. Esto se debe hacer de tal forma que se optimice el número de antenas, tomando en cuenta el número de suscriptores de la red, y la calidad del servicio que se pretende proveer. Supongamos que una compañía  dispone de n-canales de transmisión identificados con las frecuencias f_{1},\ldots, f_{n}.  La compañía debe asignarlas de manera óptima. Es de esperase que el número de usuarios sea muy superior a n.

La reutilización de frecuencias permite que el número de usuarios se multiplique de una manera espectacular.

Observemos el siguiente ejemplo:

redtel02

redtel04

se puede ver una configuración física de las tres celdas en el . Al separar de este modo las frecuencias, las celdas de tipo a usarán las frecuencias f_{1}, f_{4}, f_{7}, . . . , las de tipo b usarán las frecuencias f_{2}, f_{5}, f_{8}, \ldots , y las de tipo c usarán las frecuencias f_{3}, f_{6}, f_{9}, \ldots,.

La reutilización de frecuencias implica que dentro de una celda se usan un subconjunto fijo de las frecuencias disponibles, digamos k de ellas.

La periodicidad del diseño implica que naturalmente surgen bloques de frecuencias a los que llamaremos conglomerados de frecuencias de un tamaño fijo N. Hagamos algunas cuentas. Suponemos que la compañía posee n frecuencias. Al repartirlas en el conglomerado se obtiene que Nk = n. Para establecer la red de celulares, decide utilizar m conglomerados cada uno de tamaño N. Entonces el máximo número de usuarios que puede atender al mismo tiempo es mNk. Ampliando m se puede ampliar el número de usuarios.

El diseño celular está  basado en la repetición periódica de las celdas en un plano. Esto se hace de una manera sistemática al escoger dos enteros positivos \alpha y  \beta y repetir las celdas de la siguiente manera: para encontrar una celda del mismo tipo se hace un movimiento a través de las celdas, recorriendo primero \alpha celdas en línea recta, rotando un ángulo de –60^{\circ} y luego finalizando con un recorrido de  celdas en línea recta.

redtel05

Lo interesante de usar un teselado hexagonal, es que el número de células por conglomerado satisface la siguiente ecuación

N=\alpha^{2}+\alpha\beta+\beta^{2}

en el ejemplo se observa que \alpha=3 y \beta=1 esto da como resultado que N=13  que es el número de elementos por conglomerado.

La formula anterior esta basada en el hecho de que una red celular se puede identificar cada centro de un  hexágono con los números de Eisenstein. El conjunto de estos números se define

\mathcal{G}=\{u+v\omega:u,v\in\mathbb{Z}\}

con \omega=-\displaystyle\frac{1}{2}+\imath\frac{\sqrt{3}}{2}.

Con esto podemos ver la relación entre un hexágono de la teselación  y el numero de Einsenstein :

numeisen

Para demostrar nuestra formula la cual nos da el número de elementos que tiene un conglomerado basta suponer que la distancia entre centro y centro de cada hexágono es de 1 y que el ángulo en  entre dos segmentos que unen los centros de dos celdas cualesquiera es un múltiplo de \displaystyle\frac{\pi}{3}

redtel06

Una simple aplicación de los números complejos nos mantiene comunicados con nuestro entorno

y una imagen más…

redtelcel3g

Referencias

  • http://www.nsa.gov/research/math_research/index.shtml
  • Algunas aplicaciones de los números de Eisenstein Hector Lomel´ı Ortega
  • Conway, John and Guy, Richard, The book of numbers, Copernicus, New York, NY, 1996.
  • Chen, Nan-Xian and Chen, Zhao-Dou and Shen, Ya-Nan, Rings of Gauss and Eisenstein’s integers and their physical applications, Progr. Natur. Sci., 4 (2), (1994) 157–166.
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