Conflictos armados vs Matemáticas

ejercito2014Hoy en día vivimos un equilibrio mundial tambaleante;

  • Guerra fría contra Rusia
  • Nuevas carreras armamentistas China
  • Regiones con regímenes militares inestables Corea del Norte
  • Estado Islámico
  • Guerra civil en Ucrania
  • Conflicto palestino-israelí
  • Venta y generación desmedido de armamento
  • Guerras, Brotes de enfermedades, Terrorismo, Narcotrafico  inestabilidad económica etc.

Revisando todos estos hechos, encontramos un invariante…”Conflictos armados”, debemos entender esto último como

  • Ejercito vs Ejercito
  • Ejercito vs Guerrillas
  • Paramilitares vs Guerrillas
  • Ejercito vs Terroristas
  • Policía  vs Terroristas
  • entre otros.

El modelo sobre las estrategias de inversión de ejércitos en conflicto fue esbozado en la cúpula militar, en el marco de las conferencias auspiciadas por la Universidad de Oslo y el gobierno noruego, estas platicas  se iniciaron desde 2003 a la fecha.

La dinámica de estos hechos se pueden estudiar por medio de modelos matemáticos. Estos  modelos sirven para mostrar opciones para resolver el conflicto que son menos costosas en vidas y en bienestar.

El modelo es el siguiente:

\displaystyle \frac{d\,x}{d\,t}=\phi_{1}(x,y)+r_{1}(t)\psi_{1}(x,y)

\displaystyle \frac{d\,y}{d\,t}=\phi_{2}(x,y)+r_{2}(t)\psi_{2}(x,y)

donde t es el tiempo; x(t) y y(t) designan el número de efectivos del ejército X y del ejército Y , respectivamente; r_{i} (t) y r_{2} (t) son las tasas de remplazo de los combatientes; las funciones \phi_{i}(x, y), \phi_{2}(x, y), \psi_{1}(x, y) y \psi_{2}(x, y) caracterizan el tipo de conflicto (regular o irregular).

Analizamos el modelo sin remplazo de combatientes  r_{i} (t)=0 y r_{2} (t)=0

Ejércitos irregulares (guerrillas): En este modelo, que es el caso más sencillo, se parte de la hipótesis de que el número de bajas de cada ejército es proporcional al número de efectivos del contrincante

\displaystyle \frac{d\,x}{d\,t}=-a\,y\quad \displaystyle \frac{d\,y}{d\,t}=-b\,x

donde los parámetros a > 0 y b > 0 miden la la efectividad en el combate de los ejércitos Y  y  X, respectivamente. La solución a este sistema de ecuaciones acopladas es interesante ya que representa una hipérbola

y=\sqrt{\displaystyle\frac{b}{a}x^{2}+\frac{c}{a}}=\sqrt{\displaystyle\frac{b}{a}(x^{2}-x_{o}^2)+y_{o}^2}

analizando lo anterior llegamos a la conclusión:

  • Si c > 0, el ejército Y derrota al ejército X. Esta situación se da cuando y_{o}/x_{o} >\sqrt{b/a}, es decir, cuando la relación  inicial de combatientes del ejército Y con respecto a X es elevada en comparación con la raíz cuadrada de la razón de la efectividad b del ejército X con respecto a la efectividad a del ejército Y .
  • Si c < 0, el ejército  X derrota al ejército Y . Esta situación se presenta cuando y_{o}/x_{o} <\sqrt{b/a}
  • Si c = 0, la hipérbola se convierte en una recta que pasa por el origen; es decir, ambos ejércitos se aniquilan mutuamente.
caso001

Ejércitos irregulares

 

Ejércitos Regulares: En este modelo se parte de la hipótesis de que las bajas de cada grupo combatiente son proporcionales a la efectividad del grupo contrincante y al número de efectivos de cada ejército. Las ecuaciones que describen esta situación son (con a > 0 y b > 0):

\displaystyle \frac{d\,x}{d\,t}=-a\,x\,y\quad \displaystyle \frac{d\,y}{d\,t}=-b\,x\,y

La trayectoria en el espacio de fase es elemental pues dy/dx = b/a implica que

y=\displaystyle\frac{b}{a}x+c, \quad c=y_{0}-\frac{b}{a}x_{o}

donde claramente donde (x_{0}, y_{0}) es el estado inicial en t = 0.

  • Si c> 0, el ejército Y derrota al ejército X. Esta situación se obtiene cuando $latex y_{0}/x_{0} > b/a$. En particular, si x_{0} es mayor que y_{0}, se requiere que este desbalance en efectivos sea compensado por una mayor efectividad a del ejército Y con respecto a la efectividad b del ejército X.
  • Si c < 0, el ejército X derrota al ejército Y . Esta situación es el caso simétrico al previamente comentado de c > 0.
  • El caso c = 0 representa la aniquilación mutua de los dos ejércitos.
Ejércitos regulares

Ejércitos regulares

 

Un ejército regular X  y uno irregular Y

\displaystyle \frac{d\,x}{d\,t}=-a\,x\,y\quad \displaystyle \frac{d\,y}{d\,t}=-b\,x

En este modelo se parte de la hipótesis que las bajas del ejército regular son proporcionales a la efectividad a del ejército irregular multiplicado por el número de combatientes de ambos ejércitos; las bajas del ejército irregular son proporcionales a la efectividad del ejército regular multiplicado por el número de combatientes del ejército regular.

Nótese las características de los enfrentamientos: El ejército regular X actúa bajo el esquema de guerra de posiciones y por lo tanto su vulnerabilidad es proporcional al número de sus propios combatientes y a la efectividad a del ejército irregular por el número de sus efectivos. Un mayor número de efectivos del ejército regular aumenta el número de bajas propio, pero no sucede lo mismo con el ejército irregular pues éste actúa como guerrilla, es decir, con acciones de hostigamiento y no hace uso de la etapa de guerra de posiciones.

Al dividir entre sí las ecuaciones, se obtiene la relación dx/dy = (a/b)\,y. En consecuencia, la trayectoria en el espacio de fase (x, y) está dada por

x=\displaystyle\frac{a}{2\,b}y^2+c,\quad c=x_{o}-\frac{a}{2\,b}y_{o}^2

donde (x_{0}, y_{o}) es, como siempre, el estado inicial en t = 0.

  • Si c > 0, el ejército regular X derrota al ejército irregular Y . Esta situación se obtiene cuando x_{0} > a y_{o}^{2}/(2b), para lo cual se requiere no sólo consideraciones de efectividades apropiadas a y b, si no la necesidad de iniciar con un número de fuerzas regulares x_{0} que supere en proporción cuadrática el número inicial de irregulares y_{0}.
  • Si c < 0, el ejército irregular Y (es decir, la guerrilla) derrota al ejército regular X, bajo la hipótesis de que no hay remplazo de combatientes.
  • Si c = 0, el ejército regular y la guerrilla se aniquilan mutuamente.
Ejército vs guerrilla

Ejército vs guerrilla

 

Finalmente y para no dejar al lector con la duda, vamos a introducir el caso de remplazo de combatientes en un escenario de tres actores.

Ejército – guerrilla – paramilitares 

Un resultado clásico de la teoría de sistemas dinámicos no lineales es que la solución de tres o más ecuaciones no lineales acopladas genera trayectorias caóticas a menos que se ajusten los parámetros de control y las condiciones iniciales. En el “caótico” conflicto mundial al menos tres actores armados intervienen: Ejército, guerrilla y paramilitares. La política explícita de los combatientes se orienta por las siguientes directrices que sirven como base conceptual para el modelo:

  1. El ejército combate la guerrilla y en menor escala a los paramilitares. Esta menor intensidad de ataque a los paramilitares se explica porque éstos no atacan al ejército.
  2. La guerrilla combate a los paramilitares y al ejército.
  3. Los paramilitares combaten a la guerrilla y no atacan al ejército.

Intuitivamente podría pensarse que la desmovilización de los paramilitares debería permitir la reducción del número de efectivos del ejército, pues hay un enemigo menos para combatir. Sin embargo, declaraciones del anterior comandante del ejército hacen explícita la política que en algunas zonas, de manera deliberada o no, la contención de la guerrilla ha sido dejada en manos de los paramilitares.

Las palabras del alto oficial fueron las siguientes: si se desmovilizan 10000 paramilitares el ejército requiere ampliar su pie de fuerza al menos en 20000 hombres pues se requieren dos soldados para controlar la guerrilla con la misma efectividad que lo hace un paramilitar. Bajo las suposiciones anteriores y llamando x, y y z los efectivos del ejército X, la guerrilla Y y los paramilitares Z, respectivamente, se propone el siguiente modelo dinámico que describe un conflicto entre tres actores armados (y \neq 0):

\displaystyle \frac{d\,x}{d\,t}=-a\,x\,y+r_{1}x\left(1-\frac{x+\beta\,z}{\alpha\,y}\right)

\displaystyle \frac{d\,y}{d\,t}=-b\,x-c\,z+r_{2}y\left(1-\frac{y}{N}\right)

\displaystyle \frac{d\,z}{d\,t}=-e\,x-f\,y+r_{3}z\left(1-\frac{z}{y}\right)

El parámetro \beta mide la razón de efectividad de un paramilitar en el combate contra la guerrilla en relación a un militar en el mismo combate; de acuerdo con las declaraciones del ejército \beta \geq 2. La contribución x + z en el numerador de la primera ecuación es un equivalente en términos de efectividad, más no de legitimidad, a un ejército de x + z efectivos.

En ésta ultima ecuación, la expresión r_{3}z(1-z/y) de reemplazo de los paramilitares sigue una función logística en la cual la saturación es igual al número de efectivos guerrilleros, y.

Los términos cz y fy miden las bajas de la guerrilla por enfrentamiento con los paramilitares y las bajas de éstos por enfrentamiento con aquellos, respectivamente.

La historia muestra que el resultado de la guerra no solo esté determinado por el tamaño y la efectividad de los ejércitos combatientes sino por la capacidad de mantener el costo de la guerra y, en particular, las posibilidades logísticas de abastecer los combatientes.

Desígnensen, de manera respectiva, por x y y el total de recursos bélicos (armas, combatientes, suministros, etc) de los ejércitos X y Y y supóngase que la evolución de los recursos está dada por el acumulado de ellos y por la capacidad bélica del contrincante. Si existe una cierta “racionalidad” de inversión, el gasto debe disminuir si el acumulado es alto; además, si una de las partes percibe que su oponente está con un alto nivel de recursos bélicos entonces invertirá  más de acuerdo al grado de “terror” que el otro le inspire.

Referencias:

Ghost Wars: The Secret History of the CIA, Afghanistan, and Bin Laden, from the Soviet Invasion to September 10, 2001.

New York: Penguin Press, 2004.

An examination of the military, political, and intelligence events leading up to 9/11.

Forecasting Terrorism: Indications of Proven Analytic Techniques

Lanham, MD: The Scarecrow Press: 2004.

A book for beginners on what to look for when thinking about potential terrorist acts.

Prolegómenos a los sistemas dinámicos, Campos Diógenes y José Fernando Isaza,

The Deceivers: Allied Military Deception in the Second World War.

New York: Scribner, 2004.

A study of the various deception operations the Allies conducted against the Axis during WWII.

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