El crimen en las ciudades: Un enfoque matemático

Los crímenes en las ciudades son un fenómeno que crece día a día  debido al entorno cultural, económico y social en general.

Lo anterior muestra una oportunidad para las matemáticas y mostrar los logros que se pueden generar.

Iniciemos con la modelación matemática;

Revisando los  estudios hechos en este ámbito, se asume que los criminales son agentes racionales y que poseen una función  de utilidad que desean maximizar. Los factores que influyen en la acción de delinquir son entre otras, la probabilidad de ser atrapado, el castigo potencial que recibirán y las otras opciones de actividades que tienen disponibles.

Según Gary Becker (Wikipedia) la principal contribución es la demostración de que las políticas óptimas para combatir el comportamiento ilegal son parte de una decisión eficiente de asignación de recursos.

Es aquí donde la Teoría de Juegos asume un papel importante para poder realizar un modelo e iniciar explicaciones de hechos, soluciones de problemas derivados y poder concluir de una forma eficiente ante el fenómeno de la criminalidad.

Partiendo de los supuestos básicos en la teoría de juegos, encontramos al menos dos jugadores criminal y víctima,  esto se debe a que en todo delito coexisten intereses contrapuestos.

Debemos tener cuidado, ya que la mayoría de los modelos en teoría de juegos que tratan sobre la criminalidad no llegan a una aplicación real y es debido a la complejidad  que muestra el modelo.

EJEMPLO BÁSICO

Uno de los modelos iniciales, plantea que existen infractores en potencia que podrían ser disuadidos mediante la aplicación de una multa. La medida busca aumentar los costos para aquellos quienes infringen la ley, pero al mismo tiempo se generan costos asociados al hecho de aplicar la multa. Paradójicamente, los resultados obtenidos de la interacción (equilibrio de Nash) muestran que la aplicación de una multa no tiene ningún efecto sobre el comportamiento del potencial infractor.

Hoy en día recurrimos a muchas herramientas; como la minería de datos la cual nos ofrece diversas técnicas incluyendo modelos supervisados y no supervisados; los más socorridos en el área criminalista son modelos de predicción, clustering y clasificación.

La predicción del crimen se ha usado como cualquier problemática en donde se tiene datos en una serie de tiempo.

La técnica más utilizada para esto son las redes neuronales  en reemplazo de técnicas de series de tiempo tradicionales.

Las series de datos que usualmente se manejan en criminología son a nivel de denuncias de delitos. Está técnica se basa en la hipótesis de la existencia de patrones de comportamiento de los criminales, como por ejemplo el aumento de robos en la vía pública el día de pago de salarios (la quincena).

La utilización de clustering en el crimen se ha usado de muchas maneras. La más utilizada es la identificación de hot-spots  la cual se realiza mediante algoritmos de análisis de densidad de puntos para formar clusters. Otra técnica de clustering que se ha empleado es el análisis del crimen es el algoritmo k-medias. En particular, se ha utilizado para identificar distintos tipos de delitos que a simple vista parecen ser los mismos, pero que en realidad pueden ser diferenciados si se agrupan apropiadamente.

Hot Spots

Hot Spots

EL MODELO

Jugadores: Criminales y la policía. Los criminales se definen como una masa continua de jugadores y la policía como un jugador que controla un conjunto continuo de recursos.

Estrategias: Las estrategias de los criminales se definen como las opciones de delitos disponibles. Estas pueden ser por ejemplo, elecciones de delinquir según áreas geográficas, tipos de delitos, momentos del día o combinaciones de estas. La estrategia de la policía es distribuir sus recursos sobre las opciones de delito de manera que se pueda aumentar la dificultad a los criminales a que los efectúen.

Utilidades de los agentes: Los criminales obtienen un beneficio por delinquir en alguna de las opciones. La policía obtiene un beneficio por prevenir el crimen.

Supuestos del Juego: Congestión, actuar criminal y secuencialidad de las decisiones.

Congestión: Las opciones de crimen se tornan menos atractivas a medida que más criminales las escogen. Es decir, se produce un efecto de congestión entre los criminales. Los recursos policiales también provocan un efecto de congestión sobre las opciones de delito. En otras palabras, las estrategias se congestionan ya sea porque más criminales las escogen o porque hay recursos policiales asignados.

Actuar Criminal: Se debe definir a priori si los criminales actúan como jugadores organizados o desorganizados, es decir, si maximizan el bienestar común o cada uno de ellos maximiza su propio bienestar.

Secuencialidad de las decisiones: Los jugadores no deciden sus estrategias simultáneamente. Primero lo hace la policía enunciando su distribución de recursos sobre las opciones de delito y luego los criminales actúan óptimamente de acuerdo a aquella distribución.

 

Lo anterior se puede resumir en el siguiente grafo

Elecciones criminales

Elecciones criminales

El modelo consiste de un nodo fuente s y un nodo demanda t y E arcos que conectan con funciones de costos asociados c_{e} con e \in E

  • Los arcos representan estrategias criminales.
  • Los flujos factibles a través de la red representan la cantidad de criminales que escogen cada una de las estrategias.
  • La tasa de tráfico es unitaria, es decir, la cantidad de criminales que atraviesan el grafo de arriba es 1 (cada criminal representa una parte infinitisimal de flujo).
  • Las utilidades de los criminales son vistas como los costos asociados a cada arco. Es decir, los criminales en vez de maximizar su utilidad minimizan su costo de viaje a través de la red.
  • La distribución de flujo resultante debido a los efectos de congestión se supone que es una condición de equilibrio o un flujo a costo mínimo, dependiendo si se considera el comportamiento de los criminales no organizado u organizado respectivamente.
  • Los recursos de la policía modifican las funciones de costos aumentando su valor, lo cual afecta en la congestión de cada arco. Se considera que se cuenta con unidad de recursos policiales que se distrubuyen en las estrategias.

En cuestion de notación

  • Grafo: G=(V,E) es un grafo dirigido donde V=\{s,t\} representa a los vértices fuente y demanda.
  • Arcos: Todos los arcos e \in E=\{1,\ldots , E\} estan conectados desde s a t y se denotan como (s, t)_{e}\, \forall e\in E.
  • Tasa de tráfico: d=1
  • Función de costos: c_{e}\, \forall e\in E funciones continuas, no negativas y no decrecientes.
  • G posee un sólo commodity (Wikipedia), el cual es representado por los flujos \overrightarrow{x}=[x_{1},\dots , x_{E}]^{t}.

La policía distribuye su unidad de recursos sobre las opciones de crimen de manera de modificar el valor de las funciones de costos. Se denota \overrightarrow{\alpha}=[\alpha_{1},\dots , \alpha_{E}]^{t} a los recursos policiales y

\displaystyle \sum_{e\in E}\alpha_{e}=1

donde \alpha_{e} es la cantidad de recursos asignados a la estrategia e.

Se le llama \overrightarrow{\alpha}^{*} a la asignación de recursos escogida ex-ante. Entonces, las funciones de costo quedan definidas por c_{e}(x_{e},\alpha^{*})\,\forall e\in E.

Además para cumplir con la congestión provocada por la policía, se debe satisfacer que \displaystyle\frac{\partial c(x,\alpha)}{\partial \alpha}\geq 0, pues a mayor cantidad de recursos policiales en un arco, mayor es el costo de atrevesarlo.

Los criminales desorganizados: Dada la distribución de recursos policiales, los criminales escogen individualmente la manera de minimizar su costo del viaje a través del grafo. Esto lleva a un flujo en equilibrio de Wardrop (Wikipedia) para (G,d,c)

El equilibrio de Wardrop en este modelo es la instancia (G,d,c)^{crimen} con funciones de costos

  • c_{e}(x_{e}^{*},\alpha_{e}^{*})=C\quad \forall e\in E tal que x_{e}^{*}>0
  • c_{e}(x_{e}^{*},\alpha_{e}^{*})\geq C\quad \forall e\in E tal que x_{e}^{*}=0

Para algún C>0.

Mientras que en criminales organizados se tiene un flujo resultante de la minimización del costo, es decir, \overrightarrow{x}^{*} es el flujo a costo mínimo si y solo si:

org

La estrategia óptima de la policía es alcanzada cuando se maximiza el costo social de los criminales, Esto se obtiene asignado recursos de manera que se maximice el costo del grafo a sabiendas de la actuación  criminal posterior.

APLICACIÓN A LA CIUDAD DE MÉXICO 

La clonación de tarjetas de débito y crédito ha crecido en estos últimos años; es importante resaltar que los criminales han optado por un mecanismo seguro para poder extraer el dinero, y es el de ir con la tarjeta clonada a un cajero y retirar el monto tope.

Ahora como se clonan dichas tarjetas de forma masiva, es aquí donde los criminales utilizan cubiertas sobrepuestas en los cajeros y  con un “skimmer”  se realiza la clonación un cámara toma información del nip tecleado por el usuario.

Al tener la información y generar la tarjeta apócrifa ,se procede a realizar los retiros en un horario donde se pueda disponer el máximo que se te permite disponer al día en cajeros.

Es importante saber que el número de cajeros rebasa los 15000 en la ciudad de México, es aquí donde se debe ser cauteloso con los recursos policiales, ya que no se pueden monitorear esa cantidad de cajeros por policiales para sorprender a alguien en infraganti.

Geolocalización de los cajeros en la ciudad de México, MAHT2015.

Geolocalización de los cajeros en la ciudad de México, MAHT2015

Es aquí donde tenemos que optimizar nuestros recursos y suponer que son criminales organizados.

Mediante algoritmos de predicción clustering y clasificación, encontramos sectores en la ciudad con mayor posibilidad de retirar dinero de las cuentas en dichos cajeros. Existen patrones “escondidos” en los datos de modo que puede ser clasificados en base a similitudes subyacentes. De esta forma, cada cluster y su magnitud representarán respectivamente, una estrategia de delito y la intensidad (proporción de criminales).

Es ahí donde nos damos cuenta que el comportamiento delictivo se puede predecir llevando a resultados sorprendentes.

Es importante resaltar que una estrategia de delito puede ser vista como una combinación de múltiples variables que escoge un criminal al momento de delinquir (día de la semana, hora, lugar, y tipo de delito). Entonces luego de realizar una adecuada selección de datos, debe decidirse como se utilizarán estos datos para la construcción de estrategias de manera que se contemple la multiplicidad de variables.

Finalmente quiero mostrarles el algoritmo que hizo posible tener una estrategia para este tipo de fechorías.

oorgcdmex

Quiero agradecer a 

La Procuraduría General de la República  http://www.pgr.gob.mx/Paginas/default.aspx

Centro de Investigacion y Seguridad Nacional http://www.cisen.gob.mx/cisen.htm

INTERPOL http://www.interpol.int/

Bibliografía

Bierne, G, Crime and Punishment 1968.

Lobato J, L; Modelo aplicado para el estudio del crimen 2009

Wardrop J. G. Some Theoretical Aspects of Road Traffic Reserch. 1952

Software 

Mathematica 10.3

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